设 $a \geqslant 0$，$f(x) = x - 1 - \ln^2 x + 2a \ln x$（$x > 0$）.

(1) 令 $F(x) = xf'(x)$，讨论 $F(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 内的单调性并求极值. (2) 求证：当 $x > 1$ 时，恒有 $x > \ln^{2} x - 2a \ln x + 1$.