根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成 $GDP$（$GDP$ 是指国内生产总值）$4035\text{ 亿元}$，2000 年上海市 $GDP$ 预期增长 $9\%$. 市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 $0.08\%$，若 $GDP$ 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均 $GDP$ 达到或超过 1999 年的 $2\text{ 倍}$，至少需要______$\text{年}$. 按：1999 年本市常住人口总数约 $1300\text{ 万}$.

设函数 $y = f(x)$ 是最小正周期为 2 的偶函数，它在区间 $[0,1]$ 上的图象为如图所示的线段 $AB$，则在区间 $[1,2]$ 上 $f(x) =$______.

已知椭圆 $C$ 的焦点分别为 $F_{1}(-2\sqrt{2},0)$ 和 $F_{2}(2\sqrt{2},0)$. 长轴长为 6，设直线 $y = x + 2$ 交椭圆 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，求线段 $AB$ 的中点坐标.

已知函数 $f(x) = \frac{x^2 + 2x + a}{x}$，$x \in [1, +\infty)$.

(1) 当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值； (2) 若对任意 $x \in [1, +\infty)$，$f(x) > 0$ 恒成立，试求实数 $a$ 的取值范围.