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04解析几何★★★☆☆
以平面直角坐标系的原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 ll 的参数方程是
{x=t+1,y=t−3,\begin{cases} x = t + 1,\\ y = t - 3, \end{cases}
（tt 为参数），圆 CC 的极坐标方程是 ρ=4cos⁡θ\rho = 4\cos \theta，则直线 ll 被圆 CC 截得的弦长为（ ）
\begin{solution} 由极坐标方程 ρ=4cos⁡θ\rho=4\cos\theta，得 ρ2=4ρcos⁡θ\rho^{2}=4\rho\cos\theta，即 x2+y2=4xx^{2}+y^{2}=4x，所以圆 CC 的圆心为 (2,0)(2,0)，半径为 22. 由直线的参数方程消去 tt，得 y=x−4y=x-4，即 x−y−4=0x-y-4=0. 圆心到直线的距离为 ∣2−0−4∣2=2\dfrac{|2-0-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}，所以弦长为 222−(2)2=222\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{2}，故选 D. \end{solution}
A.
14\sqrt{14}
B.
2142 \sqrt{14}
C.
2\sqrt{2}
D.
222\sqrt{2}

2014 · 安徽 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
xx，yy 满足约束条件
{x+y−2⩽0,x−2y−2⩽0,2x−y+2⩾0,\begin{cases} x + y - 2 \leqslant 0,\\ x - 2y - 2 \leqslant 0,\\ 2x - y + 2 \geqslant 0, \end{cases}
若 z=y−axz = y - ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 aa 的值为（ ）
\begin{solution} 三个边界直线分别为 y=−x+2y=-x+2、y=12x−1y=\dfrac12x-1 和 y=2x+2y=2x+2，它们围成的可行域是顶点为 (−2,−2)(-2,-2)、(0,2)(0,2)、(2,0)(2,0) 的三角形. 目标函数 z=y−axz=y-ax 的等值线为 y=ax+zy=ax+z，最优解不唯一时，等值线必须与可行域的一条边重合. 当 a=−1a=-1 时，z=x+y⩽2z=x+y\leqslant2，在边 x+y=2x+y=2 上取得最大值；当 a=2a=2 时，z=y−2x⩽2z=y-2x\leqslant2，在边 2x−y+2=02x-y+2=0 上取得最大值. 另一条边的斜率为 12\dfrac12，但当 a=12a=\dfrac12 时，目标函数在三个顶点处的值依次为 −1-1，22，−1-1，最大值只在 (0,2)(0,2) 处取得. 所以 a=2a=2 或 −1-1，故选 D. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2} 或 −1-1
B.
22 或 12\frac{1}{2}
C.
22 或 11
D.
22 或 −1-1

2014 · 安徽 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
\begin{solution} 由三个视图可知，该多面体可看作边长为 22 的正方体分别截去两个相对顶点的角，两个截面都经过相应顶点三条棱的中点. 正方体原表面积为 6⋅22=246\cdot2^{2}=24. 每截去一个角，原来的三个直角三角形面积之和为 3⋅12⋅1⋅1=323\cdot\dfrac12\cdot1\cdot1=\dfrac32，新增截面为边长 2\sqrt{2} 的正三角形，面积为 34(2)2=32\dfrac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2})^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}2. 因而截去两个角后表面积为 24−2⋅32+2⋅32=21+324-2\cdot\dfrac32+2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}2=21+\sqrt{3}，故选 A. \end{solution}
A.
21+321 + \sqrt{3}
B.
18+318 + \sqrt{3}
C.
2121
D.
1818

2014 · 安徽 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60∘60^{\circ} 的共有（ ）
\begin{solution} 正方体的六个面各有两条对角线，共有 1212 条. 按对角线所在面的坐标方向分类，可分为 xyxy、xzxz、yzyz 三类，每类有 44 条. 同一类中两条对角线的方向向量平行或垂直，所成角不是 60∘60^{\circ}. 不同类的两条对角线可分别取方向向量 (±1,±1,0)(\pm1,\pm1,0) 与 (±1,0,±1)(\pm1,0,\pm1) 等，它们的长度均为 2\sqrt{2}，内积的绝对值均为 11，故所成锐角的余弦为 12\dfrac{1}{2}，即为 60∘60^{\circ}. 三类中任取两类共有 C32\mathrm C_3^2 种，每种有 4⋅44\cdot4 对，所以共有 C32⋅4⋅4=48\mathrm C_3^2\cdot4\cdot4=48 对，故选 C. \end{solution}
A.
2424 对
B.
3030 对
C.
4848 对
D.
6060 对

2014 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
若函数 f(x)=∣x+1∣+∣2x+a∣f(x) = |x + 1| + |2x + a| 的最小值为 3，则实数 aa 的值为（ ）
\begin{solution} 将 ∣2x+a∣\lvert2x+a\rvert 写成 2∣x+a2∣2\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert，则 f(x)=∣x+1∣+2∣x+a2∣f(x)=\lvert x+1\rvert+2\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert. 由三角不等式， f(x)=(∣x+1∣+∣x+a2∣)+∣x+a2∣⩾∣1−a2∣+∣x+a2∣⩾∣1−a2∣f(x)=\left(\lvert x+1\rvert+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\right)+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\geqslant\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\geqslant\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert. 当 x=−a2x=-\dfrac a2 时，f(x)=∣1−a2∣f(x)=\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert，故函数最小值为 ∣1−a2∣\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert. 由题意 ∣1−a2∣=3\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert=3，得 a=−4a=-4 或 a=8a=8，故选 D. \end{solution}
A.
55 或 88
B.
−1-1 或 55
C.
−1-1 或 −4-4
D.
−4-4 或 88

2014 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
若将函数 f(x)=sin⁡(2x+π4)f(x) = \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) 的图象向右平移 φ\varphi 个单位，所得图象关于 yy 轴对称，则 φ\varphi 的最小正值是______.
\begin{solution} 平移后的函数为 g(x)=sin⁡(2(x−φ)+π4)=sin⁡(2x+δ)g(x)=\sin\left(2(x-\varphi)+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin(2x+\delta)，其中 δ=π4−2φ\delta=\dfrac{\pi}{4}-2\varphi. 要使图象关于 yy 轴对称，需使 gg 为偶函数. 展开得 g(x)=sin⁡2xcos⁡δ+cos⁡2xsin⁡δg(x)=\sin2x\cos\delta+\cos2x\sin\delta，比较 g(x)g(x) 与 g(−x)g(-x) 可知必须且只需 cos⁡δ=0\cos\delta=0. 因此 δ=π2+kπ\delta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi，即 φ=−π8−kπ2\varphi=-\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{k\pi}{2}. 取最小正值时 k=−1k=-1，得到 φ=3π8\varphi=\dfrac{3\pi}{8}. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设 a≠0a \neq 0，nn 是大于 1 的自然数，(1+xa)n\left(1 + \frac{x}{a}\right)^n 的展开式为 a0+a1x+a2x2+⋯+anxna_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n. 若点 Ai(i,ai)A_i(i, a_i)（i=0i = 0，11，22）的位置如图所示，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 二项式展开式中 ai=Cni1aia_i=\mathrm C_n^i\dfrac{1}{a^i}. 由图中 A0=(0,1)A_0=(0,1)、A1=(1,3)A_1=(1,3)、A2=(2,4)A_2=(2,4)，得 a0=1a_0=1，a1=3a_1=3，a2=4a_2=4. 因而 na=3\dfrac na=3，Cn2a2=4\dfrac{\mathrm C_n^2}{a^2}=4. 由 n=3an=3a 代入第二式，得 n(n−1)2a2=4\dfrac{n(n-1)}{2a^2}=4，即 3a(3a−1)2a2=4\dfrac{3a(3a-1)}{2a^2}=4. 因 a≠0a\neq0，化简得 a2−3a=0a^2-3a=0，所以 a=3a=3. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对边的长分别是 aa，bb，cc，且 b=3b = 3，c=1c = 1，A=2BA = 2B.
(1) 求 aa 的值； (2) 求 sin⁡(A+π4)\sin\left(A+\frac{\pi}{4}\right) 的值.

2014 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 23\frac{2}{3}，乙获胜的概率为 13\frac{1}{3}，各局比赛结果相互独立.
(1) 求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率； (2) 记 XX 为比赛决出胜负时的总局数，求 XX 的分布列和均值（数学期望）.

2014 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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