从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 $60^{\circ}$ 的共有（ ）

\begin{solution} 正方体的六个面各有两条对角线，共有 $12$ 条. 按对角线所在面的坐标方向分类，可分为 $xy$、$xz$、$yz$ 三类，每类有 $4$ 条. 同一类中两条对角线的方向向量平行或垂直，所成角不是 $60^{\circ}$. 不同类的两条对角线可分别取方向向量 $(\pm1,\pm1,0)$ 与 $(\pm1,0,\pm1)$ 等，它们的长度均为 $\sqrt{2}$，内积的绝对值均为 $1$，故所成锐角的余弦为 $\dfrac{1}{2}$，即为 $60^{\circ}$. 三类中任取两类共有 $\mathrm C_3^2$ 种，每种有 $4\cdot4$ 对，所以共有 $\mathrm C_3^2\cdot4\cdot4=48$ 对，故选 C. \end{solution}

设 $a \neq 0$，$n$ 是大于 1 的自然数，$\left(1 + \frac{x}{a}\right)^n$ 的展开式为 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$. 若点 $A_i(i, a_i)$（$i = 0$，$1$，$2$）的位置如图所示，则 $a =\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{solution} 二项式展开式中 $a_i=\mathrm C_n^i\dfrac{1}{a^i}$. 由图中 $A_0=(0,1)$、$A_1=(1,3)$、$A_2=(2,4)$，得 $a_0=1$，$a_1=3$，$a_2=4$. 因而 $\dfrac na=3$，$\dfrac{\mathrm C_n^2}{a^2}=4$. 由 $n=3a$ 代入第二式，得 $\dfrac{n(n-1)}{2a^2}=4$，即 $\dfrac{3a(3a-1)}{2a^2}=4$. 因 $a\neq0$，化简得 $a^2-3a=0$，所以 $a=3$. \end{solution}