已知两条直线 $l_{1}:y=x$，$l_{2}:ax-y=0$，其中 $a$ 为实数，当这两条直线的夹角在 $\left(0,\frac{\pi}{12}\right)$ 内变动时，$a$ 的取值范围是（ ）

\begin{solution} 直线 $l_1$ 的方向角为 $\frac{\pi}{4}$. 若 $a\leqslant0$，则直线 $l_2$ 与 $l_1$ 的锐角夹角不小于 $\frac{\pi}{4}$，不可能属于 $\left(0,\frac{\pi}{12}\right)$，所以 $a>0$. 令直线 $l_2$ 的方向角为 $\theta=\arctan a$，则 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$. 由两直线夹角属于 $\left(0,\frac{\pi}{12}\right)$，有 于是 即 $\frac{\sqrt3}{3}<a<\sqrt3$. 还要排除 $a=1$，因为此时两直线重合，夹角为 $0$. 故 故选 C. \end{solution}

过抛物线 $y=ax^{2}$（$a>0$）的焦点 $F$ 作一直线交抛物线于 $P$，$Q$ 两点，若线段 $PF$ 与 $FQ$ 的长分别是 $p$，$q$，则 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ 等于（ ）

\begin{solution} 将抛物线写成 $x^2=4\rho y$ 的形式，其中 $\rho=\frac{1}{4a}$，可得焦点 $F=\left(0,\frac{1}{4a}\right)$. 设过 $F$ 的直线单位方向向量为 $(\cos\theta,\sin\theta)$，用有向参数 $s$ 表示直线上的点，则 $x=s\cos\theta$，$y=\frac{1}{4a}+s\sin\theta$. 代入 $y=ax^2$，得 设两个根为 $s_1$，$s_2$. 因为 $P$，$Q$ 位于焦点两侧，所以 $s_1s_2<0$，并且 $|s_1s_2|=\frac{1}{4a^2\cos^2\theta}$，$|s_1|+|s_2|=|s_1-s_2|=\frac{1}{a\cos^2\theta}$. 于是 故选 C. \end{solution}

椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的焦点 $F_{1}$，$F_{2}$，点 $P$ 为其上的动点，当 $\angle F_{1}PF_{2}$ 为钝角时，点 $P$ 横坐标的取值范围是______.

\begin{solution} 椭圆的半长轴、半短轴分别为 $3,2$，所以焦距参数满足 $c=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5$，可取 $F_1=(-\sqrt5,0)$，$F_2=(\sqrt5,0)$. 设 $P=(x,y)$，则 角 $F_1PF_2$ 为钝角当且仅当该数量积小于 $0$，即 $x^2+y^2<5$. 又 $P$ 在椭圆上，故 $y^2=4(1-\frac{x^2}{9})$，从而 因此 $x^2<\frac95$，即 \end{solution}

设 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列，且 $(n+1)a_{n+1}^{2}-na_{n}^{2}+a_{n+1}a_{n}=0$（$n=1$，$2$，$3$，$\dots$），则它的通项公式是 $a_{n}=\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{solution} 由题设，递推式左边可以因式分解为 数列为正项数列，所以 $a_{n+1}+a_n>0$，从而 $(n+1)a_{n+1}=na_n$. 于是 $na_n$ 为常数，结合 $a_1=1$ 得 $na_n=a_1=1$，$a_n=\frac1n$. \end{solution}

如图，$E$，$F$ 分别为正方体面 $ADD_{1}A_{1}$，面 $BCC_{1}B_{1}$ 的中心，则四边形 $BFD_{1}E$ 在该正方体的面上的射影可能是______（要求：把可能的图序号都填上）.

 to 
 0.4
 to 

\begin{solution} 取正方体棱长为 $1$，建立坐标系 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$D=(0,1,0)$，$D_1=(0,1,1)$. 由 $E$，$F$ 分别为两个相对侧面的中心，得 $E=\left(0,\frac12,\frac12\right)$，$F=\left(1,\frac12,\frac12\right)$. 四边形 $BFD_1E$ 的两组对边分别平行，所以它本身是平行四边形. 正投影保持平行关系. 投影到 $x=0$ 或 $x=1$ 的面时，四个顶点的投影共线，四边形退化为线段，对应图 $\circled{3}$. 投影到其余四个面，即 $y=0$、$y=1$、$z=0$、$z=1$ 所在的面时，四个顶点的投影均不重合，仍得到非退化平行四边形，对应图 $\circled{2}$. 因此可能的图形是平行四边形和线段，即图序号 $\circled{2}$、$\circled{3}$. \end{solution}

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 $300$ 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

(1) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 $p=f(t)$；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 $Q=g(t)$； (2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

注：市场售价与种植成本的单位：$\text{元}/10^{2}\mathrm{~kg}$，时间单位：$\text{天}$.

=0pt

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由图一中折线经过 $(0,300)$、$(200,100)$、$(300,300)$，所以 由图二的顶点 $(150,100)$ 及点 $(50,150)$ 可得 $Q=g(t)=\frac1{200}(t-150)^2+100$，$0\leqslant t\leqslant300$. \item 设纯收益为 $w(t)=p(t)-g(t)$. 当 $0\leqslant t\leqslant200$ 时， 其对称轴为 $t=50$，故这一段的最大值在 $t=50$ 处取得，且为 $100$. 当 $200<t\leqslant300$ 时， 其对称轴为 $t=350$，所以在区间 $(200,300]$ 上递增，最大值为 $w(300)=\frac{175}{2}<100$. 因此从二月一日起 $50$ 天时上市，纯收益最大. \end{enumerate} \end{solution}