设函数 $f(x) = (\sin \omega x + \cos \omega x)^2 + 2\cos^2 \omega x$（$\omega > 0$）的最小正周期为 $\frac{2\pi}{3}$.

(1) 求 $\omega$ 的值. (2) 若函数 $y = g(x)$ 的图象是由 $y = f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度得到，求 $y = g(x)$ 的单调增区间.