已知函数 $f(x) = \frac{1 + \sqrt{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)}$.

(1) 求 $f(x)$ 的定义域. (2) 若角 $\alpha$ 在第一象限且 $\cos \alpha = \frac{3}{5}$，求 $f(\alpha)$.