棱长为 $a$ 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 取正方体中心为原点，六个面的中心分别为 $\left(\pm\frac{a}{2},0,0\right)$、$\left(0,\pm\frac{a}{2},0\right)$、$\left(0,0,\pm\frac{a}{2}\right)$，它们构成一个正八面体. 该八面体可由中心与八个全等三角形面分成八个全等四面体.

每个三角形面的边长为 $\frac{a}{\sqrt{2}}$，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{8}a^{2}$. 中心到该三角形所在平面的距离为 $\frac{a}{2\sqrt{3}}$，所以一个小四面体的体积为 $\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{8}a^{2}\cdot\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a^{3}}{48}$. 因此八面体的体积为 $8\cdot\frac{a^{3}}{48}=\frac{a^{3}}{6}$，故选 C. \end{solution}

设 $a > 0$， $f(x) = ax^{2} + bx + c$，曲线 $y = f(x)$ 在点 $P(x_{0}, f(x_{0}))$ 处的切线的倾斜角的取值范围为 $[0, \frac{\pi}{4}]$，则 $P$ 到曲线 $y = f(x)$ 对称轴距离的取值范围为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 抛物线在点 $P(x_{0},f(x_{0}))$ 处的切线斜率为 $f'(x_{0})=2ax_{0}+b$. 切线倾斜角属于 $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$，所以 $0\leq2ax_{0}+b\leq1$， 即 $-\frac{b}{2a}\leq x_{0}\leq\frac{1-b}{2a}$. 曲线的对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，因此点 $P$ 到对称轴的距离为 $x_{0}+\frac{b}{2a}$，其取值范围为 $\left[0,\frac{1}{2a}\right]$，故选 B. \end{solution}

已知双曲线中心在原点且一个焦点为 $F(\sqrt{7}, 0)$，直线 $y = x - 1$ 与其相交于 $M$，$N$ 两点，$MN$ 中点的横坐标为 $-\frac{2}{3}$，则此双曲线的方程是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，其中焦半距为 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{7}$，所以 $a^{2}+b^{2}=7$. 将直线 $y=x-1$ 代入，得 设交点的横坐标为 $x_{1}$，$x_{2}$. 整理为关于 $x$ 的二次方程并由韦达定理得 由中点横坐标为 $-\frac{2}{3}$，得 $x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{3}$，所以 $\frac{-2a^{2}}{b^{2}-a^{2}}=-\frac{4}{3}$，$5a^{2}=2b^{2}$. 联立 $a^{2}+b^{2}=7$，得 $a^{2}=2$，$b^{2}=5$. 因此双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{5}=1$，故选 D. \end{solution}

一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 所有棱长相等的四面体是正四面体. 设其底面为边长 $\sqrt{2}$ 的正三角形，底面中心到任一顶点的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$. 正四面体的高为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$，球心为正四面体的重心，因此球心到该底面的距离为高的 $\frac{1}{4}$，即 $\frac{1}{2\sqrt{3}}$. 所以球半径 $R$ 满足 故球的表面积为 $4\pi R^{2}=3\pi$，选 A. \end{solution}

将三种作物种植在如图的 $5\text{ 块}$ 试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______$\text{ 种}$.

\begin{answer} 42 \end{answer}

\begin{solution} 第一块试验田有 $3$ 种选择. 以后每一块都不能与前一块种相同的作物，所以各有 $2$ 种选择. 若不附加“三种作物均要使用”的条件，共有 $3\cdot2^{4}=48$ 种.

其中只使用两种作物的种植方法需要先从三种作物中选出两种，有 $\mathrm C_{3}^{2}$ 种选择；选定后沿五块相邻试验田只能交替种植，恰有 $2$ 种方法. 因此只使用两种作物的方法有 $\mathrm C_{3}^{2}\cdot2=6$ 种，故三种作物均使用时的方法数为 $48-6=42$. \end{solution}

已知函数 $f(x)=2\sin x(\sin x+\cos x)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期和最大值； (2) 在给出的直角坐标系中，画出函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的图象.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $f(x)=2\sin^{2}x+2\sin x\cos x=1-\cos 2x+\sin 2x=1+\sqrt{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$. 因此，函数的最小正周期为 $\pi$，最大值为 $1+\sqrt{2}$. \item $f'(x)=2\left(\sin 2x+\cos 2x\right)=2\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$. 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ 上，函数在 $\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{8}\right]$ 上递减，在 $\left[-\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right]$ 上递增，在 $\left[\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{2}\right]$ 上递减. 图象经过 $\left(-\frac{\pi}{2},2\right)$，$\left(-\frac{\pi}{4},0\right)$，$\left(-\frac{\pi}{8},1-\sqrt{2}\right)$，$(0,0)$，$\left(\frac{3\pi}{8},1+\sqrt{2}\right)$，$\left(\frac{\pi}{2},2\right)$ 这些点，在给出的坐标系中将各点按函数的变化趋势光滑连接即可. \end{enumerate} \end{solution}

已知 $c > 0$，设 $P$：函数 $y = c^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，$Q$：不等式 $x + |x - 2c| > 1$ 的解集为 $\mathbf{R}$. 如果 $P$ 和 $Q$ 有且仅有一个正确，求 $c$ 的取值范围.

\begin{solution} 函数 $y=c^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减的充要条件是 $0<c<1$，所以命题 $P$ 在此条件下正确.

对命题 $Q$，当 $x<2c$ 时，$x+|x-2c|=2c$；当 $x\geq2c$ 时，$x+|x-2c|=2x-2c\geq2c$. 因而不等式对一切 $x\in\mathbf{R}$ 成立的充要条件是 $2c>1$，即 $c>\frac{1}{2}$，所以命题 $Q$ 在此条件下正确.

当 $0<c\leq\frac{1}{2}$ 时，$P$ 正确而 $Q$ 错误；当 $c\geq1$ 时，$P$ 错误而 $Q$ 正确. 因此 $c\in\left(0,\frac{1}{2}\right]\cup[1,+\infty)$. \end{solution}