设 $a > 0$， $f(x) = ax^{2} + bx + c$，曲线 $y = f(x)$ 在点 $P(x_{0}, f(x_{0}))$ 处的切线的倾斜角的取值范围为 $[0, \frac{\pi}{4}]$，则 $P$ 到曲线 $y = f(x)$ 对称轴距离的取值范围为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 抛物线在点 $P(x_{0},f(x_{0}))$ 处的切线斜率为 $f'(x_{0})=2ax_{0}+b$. 切线倾斜角属于 $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$，所以 $0\leq2ax_{0}+b\leq1$， 即 $-\frac{b}{2a}\leq x_{0}\leq\frac{1-b}{2a}$. 曲线的对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，因此点 $P$ 到对称轴的距离为 $x_{0}+\frac{b}{2a}$，其取值范围为 $\left[0,\frac{1}{2a}\right]$，故选 B. \end{solution}