已知 $c > 0$，设 $P$：函数 $y = c^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，$Q$：不等式 $x + |x - 2c| > 1$ 的解集为 $\mathbf{R}$. 如果 $P$ 和 $Q$ 有且仅有一个正确，求 $c$ 的取值范围.

\begin{solution} 函数 $y=c^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减的充要条件是 $0<c<1$，所以命题 $P$ 在此条件下正确.

对命题 $Q$，当 $x<2c$ 时，$x+|x-2c|=2c$；当 $x\geq2c$ 时，$x+|x-2c|=2x-2c\geq2c$. 因而不等式对一切 $x\in\mathbf{R}$ 成立的充要条件是 $2c>1$，即 $c>\frac{1}{2}$，所以命题 $Q$ 在此条件下正确.

当 $0<c\leq\frac{1}{2}$ 时，$P$ 正确而 $Q$ 错误；当 $c\geq1$ 时，$P$ 错误而 $Q$ 正确. 因此 $c\in\left(0,\frac{1}{2}\right]\cup[1,+\infty)$. \end{solution}