已知双曲线中心在原点且一个焦点为 $F(\sqrt{7}, 0)$，直线 $y = x - 1$ 与其相交于 $M$，$N$ 两点，$MN$ 中点的横坐标为 $-\frac{2}{3}$，则此双曲线的方程是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，其中焦半距为 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{7}$，所以 $a^{2}+b^{2}=7$. 将直线 $y=x-1$ 代入，得 设交点的横坐标为 $x_{1}$，$x_{2}$. 整理为关于 $x$ 的二次方程并由韦达定理得 由中点横坐标为 $-\frac{2}{3}$，得 $x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{3}$，所以 $\frac{-2a^{2}}{b^{2}-a^{2}}=-\frac{4}{3}$，$5a^{2}=2b^{2}$. 联立 $a^{2}+b^{2}=7$，得 $a^{2}=2$，$b^{2}=5$. 因此双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{5}=1$，故选 D. \end{solution}