棱长为 $a$ 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 取正方体中心为原点，六个面的中心分别为 $\left(\pm\frac{a}{2},0,0\right)$、$\left(0,\pm\frac{a}{2},0\right)$、$\left(0,0,\pm\frac{a}{2}\right)$，它们构成一个正八面体. 该八面体可由中心与八个全等三角形面分成八个全等四面体.

每个三角形面的边长为 $\frac{a}{\sqrt{2}}$，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{8}a^{2}$. 中心到该三角形所在平面的距离为 $\frac{a}{2\sqrt{3}}$，所以一个小四面体的体积为 $\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{8}a^{2}\cdot\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a^{3}}{48}$. 因此八面体的体积为 $8\cdot\frac{a^{3}}{48}=\frac{a^{3}}{6}$，故选 C. \end{solution}

一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 所有棱长相等的四面体是正四面体. 设其底面为边长 $\sqrt{2}$ 的正三角形，底面中心到任一顶点的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$. 正四面体的高为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$，球心为正四面体的重心，因此球心到该底面的距离为高的 $\frac{1}{4}$，即 $\frac{1}{2\sqrt{3}}$. 所以球半径 $R$ 满足 故球的表面积为 $4\pi R^{2}=3\pi$，选 A. \end{solution}