已知函数 $f(x)=2\sin x(\sin x+\cos x)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期和最大值； (2) 在给出的直角坐标系中，画出函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的图象.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $f(x)=2\sin^{2}x+2\sin x\cos x=1-\cos 2x+\sin 2x=1+\sqrt{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$. 因此，函数的最小正周期为 $\pi$，最大值为 $1+\sqrt{2}$. \item $f'(x)=2\left(\sin 2x+\cos 2x\right)=2\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$. 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ 上，函数在 $\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{8}\right]$ 上递减，在 $\left[-\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right]$ 上递增，在 $\left[\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{2}\right]$ 上递减. 图象经过 $\left(-\frac{\pi}{2},2\right)$，$\left(-\frac{\pi}{4},0\right)$，$\left(-\frac{\pi}{8},1-\sqrt{2}\right)$，$(0,0)$，$\left(\frac{3\pi}{8},1+\sqrt{2}\right)$，$\left(\frac{\pi}{2},2\right)$ 这些点，在给出的坐标系中将各点按函数的变化趋势光滑连接即可. \end{enumerate} \end{solution}