已知 $F_1$，$F_2$ 为椭圆 $C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点，$P$，$Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $|PQ|=|F_1F_2|$，则四边形 $PF_1QF_2$ 的面积为______.

在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2\sqrt{2}\cos\theta$.

(1) 将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0)$，$M$ 为 $C$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$，写出 $P$ 的轨迹 $C_1$ 的参数方程，并判断 $C$ 与 $C_1$ 是否有公共点.