用 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 这五个数字，可以组成比 $20000$ 大，并且百位数不是数字 $3$ 的没有重复数字的五位数，共有（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 五位数大于 $20000$，首位只能是 $2$，$3$，$4$ 或 $5$. 首位为 $2$ 时，后四位共有 $4!=24$ 种排列，其中百位为 $3$ 的有 $3!=6$ 种，所以有 $24-6=18$ 种. 首位为 $3$ 时，百位不可能再为 $3$，有 $4!=24$ 种. 首位为 $4$ 或 $5$ 时，各有 $4!-3!=18$ 种. 总数为 $18+24+18+18=78$，故选 B. \end{solution}

解方程：$\log_4(3-x)+\log_{0.25}(3+x)=\log_4(1-x)+\log_{0.25}(2x+1)$.

\begin{solution} 首先由各对数的真数为正数，得到 $3-x>0$，$3+x>0$，$1-x>0$，$2x+1>0$，所以定义域为 $-\frac{1}{2}<x<1$. 又因为 $\log_{0.25}u=-\log_4u$，原方程化为 $\log_4(3-x)-\log_4(3+x)=\log_4(1-x)-\log_4(2x+1)$. 利用对数的减法公式并移项，得 $\log_4\left((3-x)(2x+1)\right)=\log_4\left((3+x)(1-x)\right)$. 由于底数 $4>1$，对数函数是单调函数，故 $(3-x)(2x+1)=(3+x)(1-x)$. 展开得 $-2x^2+5x+3=3-2x-x^2$，即 $x(7-x)=0$，所以候选值为 $x=0$ 或 $x=7$. 其中 $x=7$ 不在定义域内，只有 $x=0$ 满足原方程，故解为 $x=0$. \end{solution}

解不等式：$\sqrt{2x+5}>x+1$.

\begin{solution} 由根式有意义，先得 $x\geqslant-\frac{5}{2}$. 当 $-\frac{5}{2}\leqslant x<-1$ 时，$x+1<0$，而 $\sqrt{2x+5}\geqslant0$，所以不等式恒成立. 当 $x\geqslant-1$ 时，两边均非负，可以平方，得到 $2x+5>(x+1)^2$，即 $x^2<4$，所以 $-2<x<2$. 与 $x\geqslant-1$ 取交集得 $-1\leqslant x<2$. 合并两种情况，原不等式的解集为 $\left[-\frac{5}{2},2\right)$. \end{solution}

已知曲线 $y=x^3-6x^2+11x-6$. 在它对应于 $x\in\left[0,2\right]$ 的弧段上求一点 $P$，使得曲线在该点的切线在 $y$ 轴上的截距为最小，并求出这个最小值.

\begin{solution} 设切点的横坐标为 $x\in[0,2]$，则 $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，且 $f'(x)=3x^2-12x+11$. 切线方程为 $y-f(x)=f'(x)(X-x)$，令 $X=0$，得到该切线在 $y$ 轴上的截距 其导数为 $b'(x)=-6x^2+12x=6x(2-x)\geqslant0$（$0\leqslant x\leqslant2$），所以 $b(x)$ 在 $[0,2]$ 上递增，最小值在 $x=0$ 处取得. 此时 $P=(0,f(0))=(0,-6)$，切线斜率为 $f'(0)=11$，切线为 $y=11x-6$，在 $y$ 轴上的截距为 $-6$. \end{solution}