设 $\{a_n\}$ 是正数组成的数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，并且对于所有的自然数 $n$，$a_n$ 与 $2$ 的等差中项等于 $S_n$ 与 $2$ 的等比中项.

(1) 写出数列 $\{a_n\}$ 的前 $3$ 项； (2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式（写出推证过程）.