设等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=q^{n-1}$（$n\in\mathbf{N}^*$），前 $n$ 项和为 $S_n$. 若 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{a_{n+1}}=\frac12$，则 $q=$______.