已知 $f(x) = |ax + 1|$（$a \in \mathbf{R}$），不等式 $f(x) \leqslant 3$ 的解集为 $\{x \mid -2 \leqslant x \leqslant 1\}$.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 若 $\left|f(x)-2f\left(\frac{x}{2}\right)\right|\leqslant k$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.