过双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的右顶点作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 的一条渐近线相交于 $A$. 若以 $C$ 的右焦点为圆心，半径为 4 的圆经过 $A$，$O$ 两点 （$O$ 为坐标原点），则双曲线 $C$ 的方程为（ ）

设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） 的左右焦点为 $F_1$，$F_2$，过 $F_2$ 作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$F_1B$ 与 $y$ 轴交于点 $D$，若 $AD \perp F_1B$，则椭圆 $C$ 的离心率等于______.