直线 $l: y = kx + 1$ 与圆 $O: x^2 + y^2 = 1$ 相交于 $A$，$B$ 两点，则“$k = 1$”是“$\triangle OAB$ 的面积为 $\frac{1}{2}$”的（ ）

用 $a$ 代表红球，$b$ 代表蓝球，$c$ 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 $1$ 个红球和 $1$ 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 $(1 + a)(1 + b)$ 的展开式 $1 + a + b + ab$ 表示出来. 如：“1”表示一个球都不取，“$a$”表示取出一个红球，而“$ab$”则表示把红球和蓝球都取出来. 以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 $5$ 个无区别的红球，$5$ 个无区别的蓝球，$5$ 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）

如图，在边长为 $\mathrm{e}$（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.

已知函数 $f(x) = \cos x (\sin x + \cos x) - \frac{1}{2}$，

(1) 若 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$，且 $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $f(\alpha)$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB = BD = CD = 1$，$AB \perp BD$，$CD \perp BD$. 将 $\triangle ABD$ 沿 $BD$ 折起，使得平面 $ABD \perp$ 平面 $BCD$，如图.

(1) 求证：$AB \perp CD$； (2) 若 $M$ 为 $AD$ 中点，求直线 $AD$ 与平面 $MBC$ 所成角的正弦值.

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 $1000$ 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 $4$ 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 $2$ 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

(1) 若袋中所装的 $4$ 个球中有 $1$ 个所标的面值为 $50\text{ 元}$，其余 $3$ 个均为 $10\text{ 元}$，求：

(i) 顾客所获的奖励额为 $60\text{ 元}$ 的概率； (ii) 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望. (2) 商场对奖励总额的预算是 $60000\text{ 元}$，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 $10\text{ 元}$ 和 $50\text{ 元}$ 的两种球组成，或标有面值 $20\text{ 元}$ 和 $40\text{ 元}$ 的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.