如图，三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，侧棱 $A_{1}A \perp$ 底面 $ABC$，且各棱长均相等，$D$，$E$，$F$ 分别为棱 $AB$，$BC$，$A_{1}C_{1}$ 的中点.

(1) 证明 $EF \parallel$ 平面 $A_{1}CD$； (2) 证明平面 $A_{1}CD \perp$ 平面 $A_{1}ABB_{1}$； (3) 求直线 $BC$ 与平面 $A_{1}CD$ 所成角的正弦值.