在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 到两点 $(0, -\sqrt{3})$，$(0, \sqrt{3})$ 的距离之和为 4，设点 $P$ 的轨迹为 $C$，直线 $y = kx + 1$ 与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点.

(1) 写出 $C$ 的方程； (2) 若 $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}$，求 $k$ 的值； (3) 若点 $A$ 在第一象限，证明：当 $k > 0$ 时，恒有 $\left|\overrightarrow{OA}\right| > \left|\overrightarrow{OB}\right|$.