已知函数 $f(x) = ax^3 + cx + d$（$a \neq 0$）是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x = 1$ 时 $f(x)$ 取得极值 $-2$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间和极大值； (2) 证明对任意 $x_{1}$，$x_{2} \in (-1, 1)$，不等式 $|f(x_{1}) - f(x_{2})| < 4$ 恒成立.