已知中心在坐标原点 $O$ 的椭圆 $C$ 经过点 $A(2,3)$，且点 $F(2,0)$ 为其右焦点.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 是否存在平行于 $OA$ 的直线 $l$，使得直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有公共点，且直线 $OA$ 与 $l$ 的距离等于 $4$？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 （$t$ 为参数）. 在极坐标系（与直角坐标系 $xOy$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，圆 $C$ 的方程为 $\rho = 2\sqrt{5}\sin \theta$.

(1) 求圆 $C$ 的直角坐标方程； (2) 设圆 $C$ 与直线 $l$ 交于点 $A$，$B$，若点 $P$ 的坐标为 $(3, \sqrt{5})$，求 $|PA| + |PB|$.