从某企业生产的某种产品中抽取 $500$ 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1) 求这 $500$ 件产品质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ （同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2) 由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$，$\sigma^2$ 近似为样本方差 $s^2$.

(i) 利用该正态分布，求 $P(187.8 < Z < 212.2)$； (ii) 某用户从该企业购买了 $100$ 件这种产品，记 $X$ 表示这 $100$ 件产品中质量指标值位于区间 $(187.8, 212.2)$ 的产品件数，利用（i）的结果，求 $E(X)$.

附：$\sqrt{150} \approx 12.2$，若 $Z \sim N(\mu, \sigma^{2})$，则 $P(\mu - \sigma < Z < \mu + \sigma) = 0.6826$，$P(\mu - 2\sigma < Z < \mu + 2\sigma) = 0.9544$.