长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的 $8$ 个顶点在同一个球面上，且 $AB = 2$，$AD = \sqrt{3}$，$AA_{1} = 1$，则顶点 $A$，$B$ 间的球面距离是（ ）

\begin{solution} 长方体的体对角线长为 球心是体对角线的中点，所以球半径为 $R=\sqrt2$. 设球心为 $O$，则弦 $AB=2$ 对应的圆心角 $\angle AOB=\theta$ 满足 取小于 $\pi$ 的圆心角，得 $\theta=\frac\pi2$. 因此 $A$、$B$ 间的球面距离为 $R\theta=\sqrt2\cdot\frac\pi2=\frac{\sqrt2\pi}{2}$，故选 B. \end{solution}

如图所示，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的菱形，$\angle BCD = 60^\circ$，$E$ 是 $CD$ 的中点，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = \sqrt{3}$.

(1) 证明：平面 $PBE \perp$ 平面 $PAB$； (2) 求二面角 $A - BE - P$ 的大小.

\begin{solution} 建立如下一组空间直角坐标系，令 $A\left(0,0,0\right)$，$B\left(1,0,0\right)$，$D\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，则 $C\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$. 由 $E$ 是 $CD$ 的中点以及 $PA\perp$ 底面、$PA=\sqrt{3}$，可取 $E\left(1,\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$P\left(0,0,\sqrt{3}\right)$.

\begin{enumerate} \item 在平面 $PAB$ 内，$\overrightarrow{AB}=\left(1,0,0\right)$，$\overrightarrow{AP}=\left(0,0,\sqrt{3}\right)$，且 $\overrightarrow{BE}=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$. 因为 $\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AB}=0$，$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AP}=0$，所以 $BE\perp$ 平面 $PAB$.

又因为 $BE\subset$ 平面 $PBE$，所以平面 $PBE\perp$ 平面 $PAB$.

\item 平面 $ABE$ 就是底面所在平面. 过棱 $BE$ 上的点 $B$，在平面 $ABE$ 内作 $BA$，在平面 $PBE$ 内作 $BP$. 由 $\overrightarrow{BA}=\left(-1,0,0\right)$，$\overrightarrow{BP}=\left(-1,0,\sqrt{3}\right)$，得 $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BE}=0$，$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BE}=0$，所以二面角 $A-BE-P$ 的平面角为 $\angle ABP$.

又 $|BA|=1$，$|BP|=2$，且 $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BP}=1$，故 $\cos\angle ABP=\frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{2}$. 因此二面角 $A-BE-P$ 的大小为 $\frac{\pi}{3}=60^\circ$. \end{enumerate} \end{solution}