已知函数 $f(x) = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} + \sin x$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 当 $x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 且 $f(x_0) = \frac{4\sqrt{2}}{5}$ 时，求 $f\left(x_0 + \frac{\pi}{6}\right)$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x$，得 $f(x)=\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$，所以 $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$.

\item 由已知条件，$\cos x_0+\sin x_0=\frac{4\sqrt{2}}{5}$. 于是 $\sin 2x_0=\left(\cos x_0+\sin x_0\right)^2-1=\frac{7}{25}$. 因为 $0<2x_0<\frac{\pi}{2}$，所以 $\cos 2x_0=\frac{24}{25}$，从而 $\cos x_0-\sin x_0>0$. 又 $\left(\cos x_0-\sin x_0\right)^2=1-\sin 2x_0=\frac{18}{25}$，故 $\cos x_0-\sin x_0=\frac{3\sqrt{2}}{5}$.

因此 $\cos x_0=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，$\sin x_0=\frac{\sqrt{2}}{10}$，所以

\end{enumerate} \end{solution}