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09
解析几何
★★★☆☆
已知直线
y
=
k
(
x
+
2
)
y = k(x + 2)
y
=
k
(
x
+
2
)
（
k
>
0
k > 0
k
>
0
） 与抛物线
C
:
y
2
=
8
x
C: y^2 = 8x
C
:
y
2
=
8
x
相交于
A
A
A
，
B
B
B
两点，
F
F
F
为
C
C
C
的焦点. 若
∣
F
A
∣
=
2
∣
F
B
∣
|FA| = 2|FB|
∣
F
A
∣
=
2∣
F
B
∣
，则
k
=
k =
k
=
（ ）
\begin{solution} 抛物线
y
2
=
8
x
y^{2}=8x
y
2
=
8
x
的焦点为
F
=
(
2
,
0
)
F=(2,0)
F
=
(
2
,
0
)
，准线为
x
=
−
2
x=-2
x
=
−
2
. 设
A
A
A
，
B
B
B
的横坐标分别为
x
A
x_{A}
x
A
，
x
B
x_{B}
x
B
. 由抛物线的定义，
∣
F
A
∣
=
x
A
+
2
|FA|=x_{A}+2
∣
F
A
∣
=
x
A
+
2
，
∣
F
B
∣
=
x
B
+
2
|FB|=x_{B}+2
∣
F
B
∣
=
x
B
+
2
. 将直线
y
=
k
(
x
+
2
)
y=k(x+2)
y
=
k
(
x
+
2
)
代入抛物线，得
k
2
x
2
+
(
4
k
2
−
8
)
x
+
4
k
2
=
0
k^{2}x^{2}+(4k^{2}-8)x+4k^{2}=0
k
2
x
2
+
(
4
k
2
−
8
)
x
+
4
k
2
=
0
故
x
A
x
B
=
4
x_{A}x_{B}=4
x
A
x
B
=
4
. 由
∣
F
A
∣
=
2
∣
F
B
∣
|FA|=2|FB|
∣
F
A
∣
=
2∣
F
B
∣
得
x
A
=
2
x
B
+
2
x_{A}=2x_{B}+2
x
A
=
2
x
B
+
2
，所以
(
2
x
B
+
2
)
x
B
=
4
(2x_{B}+2)x_{B}=4
(
2
x
B
+
2
)
x
B
=
4
因交点在抛物线上，
x
B
⩾
0
x_{B}\geqslant0
x
B
⩾
0
，故
x
B
=
1
x_{B}=1
x
B
=
1
，
x
A
=
4
x_{A}=4
x
A
=
4
. 再由根的和
x
A
+
x
B
=
8
k
2
−
4
x_{A}+x_{B}=\frac{8}{k^{2}}-4
x
A
+
x
B
=
k
2
8
−
4
得
5
=
8
k
2
−
4
5=\frac{8}{k^{2}}-4
5
=
k
2
8
−
4
，于是
k
=
2
2
3
k=\frac{2\sqrt2}{3}
k
=
3
2
2
. 故选 D. \end{solution}
A.
1
3
\frac{1}{3}
3
1
B.
2
3
\frac{\sqrt{2}}{3}
3
2
C.
2
3
\frac{2}{3}
3
2
D.
2
2
3
\frac{2\sqrt{2}}{3}
3
2
2
2009 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题
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