把边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折成直二面角，折成直二面角后，在 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点所在的球面上，$B$ 与 $D$ 两点之间的球面距离为（ ）

如图，在六面体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，四边形 $ABCD$ 是边长为 2 的正方形，四边形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 是边长为 1 的正方形，$DD_{1} \perp$ 平面 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，$DD_{1} \perp$ 平面 $ABCD$，$DD_{1} = 2$.

(1) 求证：$A_{1}C_{1}$ 与 $AC$ 共面，$B_{1}D_{1}$ 与 $BD$ 共面； (2) 求证：平面 $A_{1}ACC_{1} \perp$ 平面 $B_{1}BDD_{1}$； (3) 求二面角 $A - BB_{1} - C$ 的大小.（用反三角函数值表示）