数迹
题目列表试卷列表
共找到 7 题
排序：
组题
本页 7 题去组卷
04解析几何★★★☆☆
已知直线 ll 过点 (−2,0)(-2,0)，当直线 ll 与圆 x2+y2=2xx^{2}+y^{2}=2x 有两个交点时，其斜率 kk 的取值范围是（ ）
\begin{solution} 直线 ll 的方程为 y=k(x+2)y=k(x+2)，即 kx−y+2k=0kx-y+2k=0. 圆 x2+y2=2xx^{2}+y^{2}=2x 即 (x−1)2+y2=1(x-1)^{2}+y^{2}=1，圆心为 (1,0)(1,0)，半径为 11. 直线与圆有两个交点，当且仅当圆心到直线的距离小于半径，即
∣k⋅1−0+2k∣k2+1=∣3k∣k2+1<1.\frac{\left|k\cdot1-0+2k\right|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{\left|3k\right|}{\sqrt{k^{2}+1}}<1.
两边平方得 9k2<k2+19k^{2}<k^{2}+1，即 8k2<18k^{2}<1，所以 ∣k∣<122=24\left|k\right|<\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}，即 k∈(−24,24)k\in\left(-\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}\right). 故选 C. \end{solution}
A.
(−22,22)(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})
B.
(−2,2)(-\sqrt{2}, \sqrt{2})
C.
(−24,24)\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)
D.
(−18,18)\left(-\frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right)

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

查看答案和解析
07三角函数★★★☆☆
当 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} 时，函数 f(x)=1+cos⁡2x+8sin⁡2xsin⁡2xf(x) = \frac{1 + \cos 2x + 8\sin^2 x}{\sin 2x} 的最小值为（ ）
\begin{solution} 当 0<x<π20<x<\frac\pi2 时，tan⁡x>0\tan x>0，且 f(x)=2cos⁡2x+8sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x=1+4tan⁡2xtan⁡x=1tan⁡x+4tan⁡x\displaystyle f(x)=\frac{2\cos^{2}x+8\sin^{2}x}{2\sin x\cos x}=\frac{1+4\tan^{2}x}{\tan x}=\frac1{\tan x}+4\tan x. 令 t=tan⁡x>0t=\tan x>0，由基本不等式 1t+4t⩾21t⋅4t=4\displaystyle\frac1t+4t\geqslant2\sqrt{\frac1t\cdot4t}=4，等号当且仅当 t=12t=\frac12 时成立. 因此最小值为 44，故选 C. \end{solution}
A.
22
B.
232\sqrt{3}
C.
44
D.
434\sqrt{3}

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

查看答案和解析
08函数与初等函数★★★☆☆
设 b>0b > 0，二次函数 y=ax2+bx+a2−1y = ax^{2} + bx + a^{2} - 1 的图象为下列之一：
则 aa 的值为（ ）
\begin{solution} 抛物线与 yy 轴的交点纵坐标为 a2−1a^{2}-1，开口方向由 aa 的符号决定，对称轴为 x=−b2ax=-\frac{b}{2a}. 题图中前两幅图的对称轴为 yy 轴，与 b>0b>0 矛盾；第四幅图经过原点且在原点处向下穿过 xx 轴，因而其一次项系数应为负，也与 b>0b>0 矛盾.
第三幅图开口向下且经过原点，所以 a2−1=0a^{2}-1=0 且 a<0a<0，从而 a=−1a=-1. 这时图象在原点处的斜率为 b>0b>0，与第三幅图相符，故选 B. \end{solution}
A.
11
B.
−1-1
C.
−1−52\frac{-1-\sqrt{5}}{2}
D.
−1+52\frac{-1+\sqrt{5}}{2}

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
10不等式★★★☆☆
在坐标平面上，不等式组
{y⩾x−1,y⩽−3∣x∣+1\begin{cases} y\geqslant x-1,\\ y\leqslant-3|x|+1 \end{cases}
所表示的平面区域的面积为（ ）
\begin{solution} 当 x⩽0x\leqslant0 时，上界为 y=3x+1y=3x+1，下界为 y=x−1y=x-1，两直线交于 (−1,−2)(-1,-2)，并在 x=0x=0 处分别取 11 和 −1-1. 这部分区域是底为 11、两端高为 00 和 22 的梯形，面积为 0+22⋅1=1\frac{0+2}{2}\cdot1=1.
当 x⩾0x\geqslant0 时，上界为 y=−3x+1y=-3x+1，与下界 y=x−1y=x-1 交于 (12,−12)(\frac12,-\frac12). 这部分区域与左侧合并后应直接按分段积分计算： S=∫−10[(3x+1)−(x−1)] dx+∫012[(−3x+1)−(x−1)] dx=1+12=32\displaystyle S=\int_{-1}^{0}\bigl[(3x+1)-(x-1)\bigr]\,\mathrm dx+\int_{0}^{\frac{1}{2}}\bigl[(-3x+1)-(x-1)\bigr]\,\mathrm dx=1+\frac12=\frac32. 因此平面区域面积为 32\frac32，故选 B. \end{solution}
A.
2\sqrt{2}
B.
32\frac{3}{2}
C.
322\frac{3\sqrt{2}}{2}
D.
22

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

查看答案和解析
17三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡(2x+φ)f(x) = \sin(2x + \varphi)（−π<φ<0-\pi < \varphi < 0），y=f(x)y = f(x) 图象的一条对称轴是直线 x=π8x = \frac{\pi}{8}.
(1) 求 φ\varphi； (2) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的单调增区间； (3) 证明直线 5x−2y+c=05x - 2y + c = 0 与函数 y=f(x)y = f(x) 的图象不相切.

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
19数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比为 qq，前 nn 项和 Sn>0S_{n} > 0（n=1n = 1，22，⋯\cdots）.
(1) 求 qq 的取值范围； (2) 设 bn=an+2−32an+1b_{n} = a_{n+2} - \frac{3}{2} a_{n+1}，记 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和为 TnT_{n}，试比较 SnS_{n} 和 TnT_{n} 的大小.

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
20概率与统计★★★☆☆
99 粒种子分种在 33 个坑内，每坑 33 粒. 每粒种子发芽的概率为 0.50.5，若一个坑内至少有 11 粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次. 每补种 11 个坑需 10 元10\text{ 元}，用 ξ\xi 表示补种费用. 写出 ξ\xi 的分布列并求 ξ\xi 的数学期望.（精确到 0.010.01）

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析