当 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(x) = \frac{1 + \cos 2x + 8\sin^2 x}{\sin 2x}$ 的最小值为（ ）

\begin{solution} 当 $0<x<\frac\pi2$ 时，$\tan x>0$，且 $\displaystyle f(x)=\frac{2\cos^{2}x+8\sin^{2}x}{2\sin x\cos x}=\frac{1+4\tan^{2}x}{\tan x}=\frac1{\tan x}+4\tan x$. 令 $t=\tan x>0$，由基本不等式 $\displaystyle\frac1t+4t\geqslant2\sqrt{\frac1t\cdot4t}=4$，等号当且仅当 $t=\frac12$ 时成立. 因此最小值为 $4$，故选 C. \end{solution}

在坐标平面上，不等式组 所表示的平面区域的面积为（ ）

\begin{solution} 当 $x\leqslant0$ 时，上界为 $y=3x+1$，下界为 $y=x-1$，两直线交于 $(-1,-2)$，并在 $x=0$ 处分别取 $1$ 和 $-1$. 这部分区域是底为 $1$、两端高为 $0$ 和 $2$ 的梯形，面积为 $\frac{0+2}{2}\cdot1=1$.

当 $x\geqslant0$ 时，上界为 $y=-3x+1$，与下界 $y=x-1$ 交于 $(\frac12,-\frac12)$. 这部分区域与左侧合并后应直接按分段积分计算： $\displaystyle S=\int_{-1}^{0}\bigl[(3x+1)-(x-1)\bigr]\,\mathrm dx+\int_{0}^{\frac{1}{2}}\bigl[(-3x+1)-(x-1)\bigr]\,\mathrm dx=1+\frac12=\frac32$. 因此平面区域面积为 $\frac32$，故选 B. \end{solution}