当 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(x) = \frac{1 + \cos 2x + 8\sin^2 x}{\sin 2x}$ 的最小值为（ ）

\begin{solution} 当 $0<x<\frac\pi2$ 时，$\tan x>0$，且 $\displaystyle f(x)=\frac{2\cos^{2}x+8\sin^{2}x}{2\sin x\cos x}=\frac{1+4\tan^{2}x}{\tan x}=\frac1{\tan x}+4\tan x$. 令 $t=\tan x>0$，由基本不等式 $\displaystyle\frac1t+4t\geqslant2\sqrt{\frac1t\cdot4t}=4$，等号当且仅当 $t=\frac12$ 时成立. 因此最小值为 $4$，故选 C. \end{solution}

设函数 $f(x) = \sin(2x + \varphi)$（$-\pi < \varphi < 0$），$y = f(x)$ 图象的一条对称轴是直线 $x = \frac{\pi}{8}$.

(1) 求 $\varphi$； (2) 求函数 $y = f(x)$ 的单调增区间； (3) 证明直线 $5x - 2y + c = 0$ 与函数 $y = f(x)$ 的图象不相切.