若 $\sin\alpha$，$\cos\alpha$，$\tan\alpha$ 成等比数列，求证：$\left(\sin\alpha+\cos\alpha+\tan\alpha\right)\left(\sin\alpha-\cos\alpha+\tan\alpha\right)=\frac{1}{\cos^2\alpha}$.

在边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 内，作内接正方形 $A_1B_1C_1D_1$.

(1) 在什么情况下，正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 的面积最小？最小值是多少？ (2) 在正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 内，再作面积最小的内接正方形 $A_2B_2C_2D_2$，$\ldots$，如果继续下去，求第 $n$ 个面积最小的内接正方形的面积. (3) 这样无限制地作下去，可以得到一系列的内接正方形，求它们的面积之和.