如图，平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，$A \in \alpha$，$B \in \beta$，$AB$ 与两平面 $\alpha$，$\beta$ 所成的角分别为 $\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{\pi}{6}$，过 $A$，$B$ 分别作两平面交线的垂线，垂足为 $A'$，$B'$，若 $AB = 12$，则 $A'B' =$（ ）