如图，在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，已知 $BC = a$，若长为 $2a$ 的线段 $PQ$ 以点 $A$ 为中点，问 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角 $\theta$ 取何值时 $\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{CQ}$ 的值最大？并求出这个最大值.