设 $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，则函数 $y = \frac{2\sin^2 x + 1}{\sin 2x}$ 的最小值为______.

\begin{solution} 令 $t=\tan x$. 由于 $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，所以 $t>0$. 利用 $\sin^2x=\dfrac{t^2}{1+t^2}$ 和 $\sin2x=\dfrac{2t}{1+t^2}$，得 由基本不等式，$3t+\dfrac{1}{t}\geqslant2\sqrt{3t\cdot\dfrac{1}{t}}=2\sqrt{3}$，等号当且仅当 $3t=\dfrac{1}{t}$，即 $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}>0$. 该值可以取到，因此函数的最小值为 $\sqrt{3}$. \end{solution}