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04平面向量★★★☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 ∣a∣=∣b∣=1\lvert \boldsymbol{a} \rvert=\lvert \boldsymbol{b} \rvert=1，∣c∣=2\lvert \boldsymbol{c} \rvert=\sqrt{2}，且 a+b+c=0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}，则 cos⁡(a−c,b−c)=\cos\left( \boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} \right)=（ ）
A.
−45-\frac45
B.
−25-\frac25
C.
25\frac25
D.
45\frac45

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的离心率为 5\sqrt{5}，CC 的一条渐近线与圆 (x−2)2+(y−3)2=1\left( x-2 \right)^2+\left( y-3 \right)^2=1 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=\lvert AB \rvert=（ ）
A.
55\frac{\sqrt{5}}{5}
B.
255\frac{2\sqrt{5}}{5}
C.
355\frac{3\sqrt{5}}{5}
D.
455\frac{4\sqrt{5}}{5}

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
设 OO 为坐标原点，F1F_1，F2F_2 为椭圆 x29+y26=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1 的两个焦点，点 PP 在该椭圆上，且 cos⁡∠F1PF2=35\cos\angle F_1PF_2=\frac35. 则 ∣OP∣=\lvert OP \rvert=（ ）
A.
135\frac{13}{5}
B.
302\frac{\sqrt{30}}{2}
C.
145\frac{14}{5}
D.
352\frac{\sqrt{35}}{2}

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠BAC=60∘\angle BAC=60^\circ，AB=2AB=2，BC=6BC=\sqrt{6}，∠BAC\angle BAC 的角平分线交 BCBC 于 DD，则 AD=AD=______.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
设 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a2=1a_2=1，2Sn=nan2S_n=na_n.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {an+12n}\left\{ \frac{a_{n+1}}{2^n} \right\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
一项试验旨在研究臭氧效应. 试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：gg）.
(1) 设 XX 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 XX 的分布列和数学期望； (2) 试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2， 18.8， 20.2， 21.3， 22.5， 23.2， 25.8， 26.5， 27.5， 30.1，
32.6， 34.3， 34.8， 35.6， 35.6， 35.8， 36.2， 37.3， 40.5， 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8， 9.2， 11.4， 12.4， 13.2， 15.5， 16.5， 18.0， 18.8， 19.2，
19.8， 20.2， 21.6， 22.8， 23.6， 23.9， 25.1， 28.2， 32.3， 36.5
(i) 求 40 只小鼠体重的增加量的中位数 mm，再分别统计两样本中小于 mm 与不小于 mm 的数据的个数，完成如下列联表； (ii) 根据（1）中的列联表，能否有 95% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n\left( ad-bc \right)^2}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)}，

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
已知点 P(2,1)P(2,1)，直线 ll 的参数方程为 x=2+tcos⁡αx=2+t\cos\alpha，y=1+tsin⁡αy=1+t\sin\alpha（tt 为参数），α\alpha 为 ll 的倾斜角，ll 与 xx 轴正半轴，yy 轴正半轴分别交于 AA，BB 两点，且 ∣PA∣⋅∣PB∣=4\lvert PA \rvert\cdot\lvert PB \rvert=4.
(1) 求 α\alpha； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 ll 的极坐标方程.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=2∣x−a∣−af(x)=2\lvert x-a \rvert-a.
(1) 求不等式 f(x)<xf(x)<x 的解集； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与 xx 轴所围成的图形的面积为 2，求 aa.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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