设四边形 $ABCD$ 为平行四边形，$\left|\overrightarrow{AB}\right| = 6$，$\left|\overrightarrow{AD}\right| = 4$. 若点 $M$，$N$ 满足 $\overrightarrow{BM} = 3\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{DN} = 2\overrightarrow{NC}$，则 $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{NM} =$（ ）

\begin{solution} 设 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{u}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{v}$，则 $\lvert\boldsymbol{u}\rvert=6$，$\lvert\boldsymbol{v}\rvert=4$，并且 $\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$. 由内分关系得 $\overrightarrow{AM}=\boldsymbol{u}+\dfrac34\boldsymbol{v}$，$\overrightarrow{AN}=\dfrac23\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$，所以 $\overrightarrow{NM}=\dfrac13\boldsymbol{u}-\dfrac14\boldsymbol{v}$.

于是 故选 C. \end{solution}

设数列 $\{a_{n}\}$（$n = 1$，$2$，$3$，$\dots$） 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2a_{n} - a_{1}$，且 $a_1$，$a_2 + 1$，$a_3$ 成等差数列.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 记数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$，求使得 $\left|T_{n} - 1\right| < \frac{1}{1000}$ 成立的 $n$ 的最小值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $n\geqslant2$ 时，由 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 得 所以 $a_n=2a_{n-1}$. 因而 $a_n=2^{n-1}a_1$. 又 $a_1$，$a_2+1$，$a_3$ 成等差数列，所以 $2(a_2+1)=a_1+a_3$，$2(2a_1+1)=a_1+4a_1$ 解得 $a_1=2$，从而 $a_n=2^n$. \item 故 $\lvert T_n-1\rvert=2^{-n}$. 条件 $2^{-n}<\dfrac1{1000}$ 等价于 $2^n>1000$. 由于 $2^9=512<1000<1024=2^{10}$，所以 $n$ 的最小值为 $10$. \end{enumerate} \end{solution}

某市 $A$，$B$ 两所中学的学生组队参加辩论赛，$A$ 中学推荐了 3 名男生，2 名女生，$B$ 中学推荐了 3 名男生，4 名女生. 两校所推荐的学生一起参加集训. 由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队.

(1) 求 $A$ 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率； (2) 某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 $X$ 表示参赛的男生人数，求 $X$ 的分布列和数学期望.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 男生中不选 $A$ 中学学生的概率为 $\dfrac1{\mathrm C_6^3}$，女生中不选 $A$ 中学学生的概率为 $\dfrac{\mathrm C_4^3}{\mathrm C_6^3}$. 两次抽取相互独立，所以 $A$ 中学至少有 1 名学生入选的概率为 \item 代表队中有 $3$ 名男生和 $3$ 名女生，从 $6$ 人中抽取 $4$ 人，故 $X$ 的可能取值为 $1$，$2$，$3$. 对 $k=1$，$2$，$3$， 于是 $P(X=1)=\dfrac15$，$P(X=2)=\dfrac35$，$P(X=3)=\dfrac15$，这就是 $X$ 的分布列. 数学期望为 \end{enumerate} \end{solution}