已知空间三个点 $P(-2,0,2)$，$Q(-1,1,2)$ 和 $R(-3,0,4)$. 设 $\boldsymbol{a} = \overrightarrow{PQ}$，$\boldsymbol{b} = \overrightarrow{PR}$.

(1) 求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta$（用反三角函数表示）； (2) 试确定实数 $k$，使 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 与 $k\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$ 互相垂直.

如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD \parallel BC$，$\angle ABC = \frac{\pi}{2}$，$AB = a$，$AD = 3a$，且 $\angle ADC = \arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}$，又 $PA \perp$ 平面 $ABCD$，$PA = a$. 求：

(1) 二面角 $P - CD - A$ 的大小（用反三角函数表示）； (2) 点 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离.

如图，抛物线 $y = 3x^2$ 和 $y = -x^2 + 4tx$ 交于原点 $O$ 和点 $A$.

(1) 当 $t$ 是大于 $0$ 的常数时，求这两条抛物线所围成的图形的面积； (2) 过点 $A$ 作抛物线 $y = -x^2 + 4tx$ 的切线，该切线与抛物线 $y = 3x^2$ 交于点 $P$，当 $t$ 在实数范围内变化时，求线段 $AP$ 的中点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.