已知数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ 都是公差为 $1$ 的等差数列，其首项分别为 $a_{1}$，$b_{1}$，且 $a_{1}+b_{1}=5$，$a_{1}$，$b_{1}\in\mathbf{N}^{*}$. 设 $C_{n}=a_{b_{n}}$（$n\in\mathbf{N}^{*}$），则数列 $\{C_{n}\}$ 的前 $10$ 项和等于（ ）

设函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}$，点 $A_{0}$ 表示坐标原点，点 $A_{n}(n,f(n))$（$n\in\mathbf{N}^{*}$）. 若向量 $\boldsymbol{a}_{n}=\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_{n}}$，$\theta_{n}$ 是 $\boldsymbol{a}_{n}$ 与 $\boldsymbol{i}$ 的夹角（其中 $\boldsymbol{i}=(1,0)$），设 $S_{n}=\tan\theta_{1}+\tan\theta_{2}+\cdots+\tan\theta_{n}$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n}=$______.