设函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}$，点 $A_{0}$ 表示坐标原点，点 $A_{n}(n,f(n))$（$n\in\mathbf{N}^{*}$）. 若向量 $\boldsymbol{a}_{n}=\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_{n}}$，$\theta_{n}$ 是 $\boldsymbol{a}_{n}$ 与 $\boldsymbol{i}$ 的夹角（其中 $\boldsymbol{i}=(1,0)$），设 $S_{n}=\tan\theta_{1}+\tan\theta_{2}+\cdots+\tan\theta_{n}$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n}=$______.