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12
立体几何初步
★★★☆☆
如图，已知圆中两条弦
A
B
AB
A
B
与
C
D
CD
C
D
相交于点
F
F
F
，
E
E
E
是
A
B
AB
A
B
延长线上一点，且
D
F
=
C
F
=
2
DF = CF = \sqrt{2}
D
F
=
C
F
=
2
，
A
F
:
F
B
:
B
E
=
4
:
2
:
1
AF:FB:BE = 4:2:1
A
F
:
F
B
:
B
E
=
4
:
2
:
1
. 若
C
E
CE
C
E
与圆相切，则
C
E
CE
C
E
的长为______.
\begin{answer}
7
2
\frac{\sqrt{7}}{2}
2
7
\end{answer}
\begin{solution} 设
A
F
=
4
k
AF=4k
A
F
=
4
k
，
F
B
=
2
k
FB=2k
F
B
=
2
k
，
B
E
=
k
BE=k
B
E
=
k
. 由相交弦定理，
A
F
⋅
F
B
=
D
F
⋅
C
F
AF\cdot FB=DF\cdot CF
A
F
⋅
F
B
=
D
F
⋅
C
F
即
(
4
k
)
(
2
k
)
=
2
⋅
2
=
2
(4k)(2k)=\sqrt2\cdot\sqrt2=2
(
4
k
)
(
2
k
)
=
2
⋅
2
=
2
因
k
>
0
k>0
k
>
0
，故
k
=
1
2
k=\frac12
k
=
2
1
. 从而
A
F
=
2
AF=2
A
F
=
2
，
F
B
=
1
FB=1
F
B
=
1
，
B
E
=
1
2
BE=\frac12
B
E
=
2
1
. 因
E
E
E
在
A
B
AB
A
B
的延长线上且位于
B
B
B
的外侧，
E
A
=
A
F
+
F
B
+
B
E
=
2
+
1
+
1
2
=
7
2
EA=AF+FB+BE=2+1+\frac12=\frac72
E
A
=
A
F
+
F
B
+
B
E
=
2
+
1
+
2
1
=
2
7
由切割线定理，
C
E
2
=
E
A
⋅
E
B
=
7
2
⋅
1
2
=
7
4
CE^2=EA\cdot EB=\frac72\cdot\frac12=\frac74
C
E
2
=
E
A
⋅
E
B
=
2
7
⋅
2
1
=
4
7
所以
C
E
=
7
2
CE=\frac{\sqrt7}{2}
C
E
=
2
7
\end{solution}
2011 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题
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