如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是边 $AC$ 上的点，且 $AB = AD$，$2AB = \sqrt{3}BD$，$BC = 2BD$，则 $\sin C$ 的值为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 令 $AB=AD=s$. 由 $2AB=\sqrt{3}BD$ 和 $BC=2BD$，得 $BD=\frac{2s}{\sqrt{3}}$，$BC=\frac{4s}{\sqrt{3}}$. 在等腰三角形 $ABD$ 中， 所以 $\sin\angle DAB=\frac{2\sqrt2}{3}$. 取坐标 $A=(0,0)$，$D=(s,0)$，$B=\left(\frac{s}{3},\frac{2\sqrt2s}{3}\right)$，$C=(u,0)$. 由图中 $C$ 在 $D$ 的外侧，$u>s$. 利用 $BC=4\frac{s}{\sqrt3}$， 故 于是 因此选 D. \end{solution}

已知函数 $f(x) = \tan \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.

(1) 求 $f(x)$ 的定义域与最小正周期； (2) 设 $\alpha \in (0, \frac{\pi}{4})$，若 $f\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2\cos 2\alpha$，求 $\alpha$ 的大小.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 正切函数有意义的条件为 $2x+\frac{\pi}{4}\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$. 所以 $x\ne\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$，$k\in\mathbf{Z}$ 定义域为 因为 $\tan u$ 的最小正周期为 $\pi$，所以 $f(x)$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$.

\item 令 $t=\tan\alpha$. 由 $0<\alpha<\frac{\pi}{4}$，知 $0<t<1$. 原方程化为 即 因 $1+t>0$ 且 $1-t>0$，约去 $1+t$ 后得 所以 其根为 $t=2\pm\sqrt3$，结合 $0<t<1$，取 故 $\alpha=\frac{\pi}{12}$. \end{enumerate} \end{solution}