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14
不等式
★★★☆☆
已知
a
>
0
a>0
a
>
0
，
b
>
0
b>0
b
>
0
，且
a
b
=
1
ab=1
ab
=
1
，则
1
2
a
+
1
2
b
+
8
a
+
b
\dfrac1{2a}+\dfrac1{2b}+\dfrac8{a+b}
2
a
1
+
2
b
1
+
a
+
b
8
的最小值为______.
2020 · 天津 · 第 14 题 · 填空题
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15
平面向量
★★★☆☆
如图，在四边形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
中，
∠
B
=
60
∘
\angle B=60^\circ
∠
B
=
6
0
∘
，
∣
A
B
∣
=
3
|AB|=3
∣
A
B
∣
=
3
，
∣
B
C
∣
=
6
|BC|=6
∣
B
C
∣
=
6
，且
A
D
→
=
λ
B
C
→
\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{BC}
A
D
=
λ
B
C
，
A
D
→
⋅
A
B
→
=
−
3
2
\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=-\dfrac32
A
D
⋅
A
B
=
−
2
3
，则实数
λ
\lambda
λ
的值为______，若
M
M
M
，
N
N
N
是线段
B
C
BC
B
C
上的动点，且
∣
M
N
∣
=
1
|MN|=1
∣
M
N
∣
=
1
，则
D
M
→
⋅
D
N
→
\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{DN}
D
M
⋅
D
N
的最小值为______.
2020 · 天津 · 第 15 题 · 填空题
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16
三角函数
★★★☆☆
在
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
中，角
A
A
A
，
B
B
B
，
C
C
C
所对的边分别为
a
a
a
，
b
b
b
，
c
c
c
. 已知
a
=
2
2
a=2\sqrt2
a
=
2
2
，
b
=
5
b=5
b
=
5
，
c
=
13
c=\sqrt{13}
c
=
13
.
(1) 求角
C
C
C
的大小； (2) 求
sin
A
\sin A
sin
A
的值； (3) 求
sin
(
2
A
+
π
4
)
\sin\left( 2A+\dfrac{\pi}{4} \right)
sin
(
2
A
+
4
π
)
的值.
2020 · 天津 · 第 16 题 · 解答题
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17
立体几何初步
★★★☆☆
如图，在三棱柱
A
B
C
−
A
1
B
1
C
1
ABC-A_1B_1C_1
A
B
C
−
A
1
B
1
C
1
中，
C
C
1
⊥
CC_1\perp
C
C
1
⊥
平面
A
B
C
ABC
A
B
C
，
A
C
⊥
B
C
AC\perp BC
A
C
⊥
B
C
，
A
C
=
B
C
=
2
AC=BC=2
A
C
=
B
C
=
2
，
C
C
1
=
3
CC_1=3
C
C
1
=
3
，点
D
D
D
，
E
E
E
分别在棱
A
A
1
AA_1
A
A
1
和棱
C
C
1
CC_1
C
C
1
上，且
A
D
=
1
AD=1
A
D
=
1
，
C
E
=
2
CE=2
C
E
=
2
，
M
M
M
为棱
A
1
B
1
A_1B_1
A
1
B
1
的中点.
(1) 求证：
C
1
M
⊥
B
1
D
C_1M\perp B_1D
C
1
M
⊥
B
1
D
； (2) 求二面角
B
−
B
1
E
−
D
B-B_1E-D
B
−
B
1
E
−
D
的正弦值； (3) 求直线
A
B
AB
A
B
与平面
D
B
1
E
DB_1E
D
B
1
E
所成角的正弦值.
2020 · 天津 · 第 17 题 · 解答题
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