设 $F_{1}$，$F_{2}$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > b > 0$）的左，右焦点，$P$ 为直线 $x = \frac{3a}{2}$ 上一点，$\triangle F_{2}PF_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形，则 $E$ 的离心率为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设椭圆半焦距为 $c$，则 $F_1=(-c,0)$，$F_2=(c,0)$，且 $c=ae$. 等腰三角形的两个底角为 $30^{\circ}$，所以顶角为 $120^{\circ}$. 由于 $P$ 的横坐标为 $\frac{3a}{2}>c$，有 $PF_1>PF_2$，且 $PF_1\geqslant\frac{3a}{2}+c>2c=F_1F_2$，故等腰三角形的两腰只能是 $PF_2$ 和 $F_1F_2$，即 $PF_2=F_1F_2=2c$，另一腰 $PF_1=2\sqrt{3}c$. 在 $F_1$ 处向 $F_1F_2$ 作投影可得 $\frac{3a}{2}+c=PF_1\cos30^{\circ}=3c$. 于是 $c=\frac{3a}{4}$，故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac34$，应选 C. \end{solution}

已知正三角形 $ABC$ 的顶点 $A(1,1)$，$B(1,3)$，顶点 $C$ 在第一象限，若点 $(x,y)$ 在 $\triangle ABC$ 内部，则 $z = -x + y$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由 $AB=2$，且 $C$ 在第一象限，正三角形的第三个顶点为 $C(1+\sqrt3,2)$. 线性函数 $z=-x+y$ 在三角形闭区域上的最大、最小值分别在顶点处取得，而 $z_A=0$，$z_B=2$，$z_C=1-\sqrt3$. 由于题目取三角形内部，不包含边界，故 $1-\sqrt3<z<2$，应选 A. \end{solution}

等轴双曲线 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，$C$ 与抛物线 $y^{2} = 16x$ 的准线交于 $A$，$B$ 两点，$|AB| = 4\sqrt{3}$，则 $C$ 的实轴长为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 抛物线 $y^2=16x$ 的准线为 $x=-4$. 设等轴双曲线为 $x^2-y^2=a^2$，则两交点的横坐标均为 $-4$，由 $|AB|=4\sqrt3$ 得交点纵坐标为 $\pm2\sqrt3$. 代入双曲线方程，得 $16-12=a^2$，所以 $a=2$. 等轴双曲线的实轴长为 $2a=4$，应选 C. \end{solution}