设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(a, 0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$，点 $M$ 在线段 $AB$ 上，满足 $|BM| = 2|MA|$，直线 $OM$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$.

(1) 求 $E$ 的离心率 $e$； (2) 设点 $C$ 的坐标为 $(0, -b)$，$N$ 为线段 $AC$ 的中点，证明：$MN \perp AB$.