已知函数 $f(x) = \frac{x - 1}{x + a} + \ln\left(x + 1\right)$，其中实数 $a \neq 1$.

(1) 若 $a = 2$，求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程； (2) 若 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，试讨论 $f(x)$ 的单调性.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $a=2$ 时，$f(0)=-\frac{1}{2}$，且 $f'(x)=\frac{3}{(x+2)^2}+\frac{1}{x+1}$，所以 $f'(0)=\frac{7}{4}$. 因此曲线在 $(0,f(0))=\left(0,-\frac{1}{2}\right)$ 处的切线方程为 $y+\frac{1}{2}=\frac{7}{4}x$，即 $y=\frac{7}{4}x-\frac{1}{2}$. \item 因为函数在 $x=1$ 处取得极值，且 $x=1$ 必须属于定义域，所以 $a\neq-1$. 又 $f'(1)=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2}=0$，解得 $a=-3$. 此时定义域为 $(-1,3)\cup(3,+\infty)$，并且 由于定义域内分母为正，故 $f'(x)>0$ 在 $(-1,1)$ 和 $(7,+\infty)$ 上成立，$f'(x)<0$ 在 $(1,3)$ 和 $(3,7)$ 上成立. 因此 $f(x)$ 在 $(-1,1)$、$(7,+\infty)$ 上单调递增，在 $(1,3)$、$(3,7)$ 上单调递减. \end{enumerate} \end{solution}