在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 $1$，$2$，$\cdots$，$6$），求：

(1) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2) 甲、乙两单位之间的演出单位个数 $\xi$ 的分布列与期望.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 甲、乙两单位的演出序号是从 $1$，$2$，$\ldots$，$6$ 中随机取出的两个不同序号. 两序号都为偶数的概率为 $\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_6^2}=\frac{1}{5}$，所以至少有一个为奇数的概率为 $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$. \item 两单位的演出序号之差为 $d$ 时，满足条件的无序位置对有 $6-d$ 个，全部无序位置对有 $\mathrm C_6^2=15$ 个. 由于 $\xi=d-1$，所以 $\xi$ 的分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} $\xi$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \ \hline $P$ & $\frac{5}{15}$ & $\frac{4}{15}$ & $\frac{3}{15}$ & $\frac{2}{15}$ & $\frac{1}{15}$ \end{tabular} \end{center} 从而 $E(\xi)=0\cdot\frac{5}{15}+1\cdot\frac{4}{15}+2\cdot\frac{3}{15}+3\cdot\frac{2}{15}+4\cdot\frac{1}{15}=\frac{4}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}