如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = AB = \sqrt{6}$，点 $E$ 是棱 $PB$ 的中点.

(1) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离； (2) 若 $AD = \sqrt{3}$，求二面角 $A - EC - D$ 的平面角的余弦值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立如图所示的直角坐标系，设 $s=\sqrt{6}$，$AD=d$，取 $A(0,0,0)$，$B(s,0,0)$，$D(0,d,0)$，$C(s,d,0)$，$P(0,0,s)$. 由 $E$ 为 $PB$ 的中点，得 $E\left(\frac{s}{2},0,\frac{s}{2}\right)$. 平面 $PBC$ 的方程为 $x+z=s$，直线 $AD$ 的方向为 $y$ 轴方向，且与平面 $PBC$ 平行. 因此直线 $AD$ 到平面 $PBC$ 的距离为 $\frac{s}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$. \item 当 $d=\sqrt{3}$ 时，取平面 $AEC$ 的两个方向向量 $\overrightarrow{AC}=(s,d,0)$、$\overrightarrow{AE}=\left(\frac{s}{2},0,\frac{s}{2}\right)$，取平面 $DEC$ 的两个方向向量 $\overrightarrow{DC}=(s,0,0)$、$\overrightarrow{DE}=\left(\frac{s}{2},-d,\frac{s}{2}\right)$. 相应法向量可取 $\boldsymbol{n}_1=(ds,-s^2,-ds)$、$\boldsymbol{n}_2=(0,-s^2,-2ds)$. 代入 $s=\sqrt{6}$、$d=\sqrt{3}$，得 $\boldsymbol{n}_1=(3\sqrt{2},-6,-3\sqrt{2})$、$\boldsymbol{n}_2=(0,-6,-6\sqrt{2})$. 所以二面角的平面角 $\alpha$ 满足 $\cos\alpha=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{72}{\sqrt{72}\sqrt{108}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}