设函数 $f(x) = \cos \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + 2\cos^2 \frac{x}{2}$，$x \in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的值域； (2) 记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边长分别为 $a$，$b$，$c$. 若 $f(B) = 1$，$b = 1$，$c = \sqrt{3}$，求 $a$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $2\cos^2\frac{x}{2}=1+\cos x$，得 $f(x)=1+\cos x+\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=1+\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=1+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$. 因此 $0\leqslant f(x)\leqslant2$，值域为 $[0,2]$. \item 由 $f(B)=1$ 得 $\cos\left(B+\frac{\pi}{3}\right)=0$，所以 $B=\frac{\pi}{6}+k\pi$. 因为 $0<B<\pi$，故 $B=\frac{\pi}{6}$. 在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，即 $1=a^2+3-2a\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=a^2-3a+3$，从而 $a^2-3a+2=0$，解得 $a=1$ 或 $a=2$. 两者均满足 $|\sqrt{3}-1|<a<\sqrt{3}+1$，故 $a=1$ 或 $a=2$. \end{enumerate} \end{solution}